梦见自已在做数学题(梦见做数学题做得很好)

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  • 时间:2021-11-18 02:25:12
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《红楼梦》中有一个故事梦见自已在做数学题:香菱学作诗梦见自已在做数学题,用了很多苦功也没能作好,却在梦中作出一首好诗。当然这有点“怪力乱神”的味道。据说著名的小提琴曲《魔鬼的颤音》也是在梦中作出的。那么在现实中这样的事真的能发生吗?我所关心的是:在梦中能做数学吗?

也许某些天才可以,而吾等凡夫俗子是不行的。在我的梦中,场景变化很快,而且是跳跃式的,每个场景持续的时间很短,更谈不上逻辑性。而要证明一个定理,需要多步推理且还要反复检验,在梦中当然不可能做到。

但是,在梦中出现一个好的 idea 倒并非不可能。如作诗梦见一个妙词或妙句,我还是相信的。但另一个问题是,绝大多数梦境在醒来时都忘了,只有在梦见妙句时突然醒来,才有可能记下并传之于世。

对于数学,这样的好事最近我遇到多次,写出来与大家分享,就是数学的“痴人说梦”了。

一 日 有 所 思

先得说明一下“日有所思”,才好解释什么是“夜有所梦”。

由于新冠肺炎流行,我和大家一样宅在家里。首先要做的是修订《李群与李代数基础》一书。这是2015年出版社就约稿的,去年8月我计划再讲一次定稿。尔后顺利讲完,但整理书稿的工作量仍很大。幸乎不幸乎,新冠肺炎让我有了时间,而且学校延期开学,开学后又是网上授课,这样我有了近两个月的连续工作时间,终于在上周完成了修订工作,向出版社交稿了。所以现在有时间聊些轻松愉快的话题。

开学后的教学工作,当然也是与数学有关的。一方面是研究生课程《交换代数与同调代数》,我觉得上网课肯定是不行的,遂采用了“网上讨论班”的授课方式。实行以来相当有效,因为同学们提出的问题往往是同学们先回答,而且到处查阅资料。大家在微信群中上传的文件也很多,有些贪婪的同学把整本的厚书上传,如EGA(格罗滕迪克的著作 Eléments de Géométrie Algébrique 的简写,即《代数几何原本》)和布尔巴基学派的书。除了研究生课程,我还有对本科生甚至中学生的教学任务,这些目前还没有值得一提的进展,但仍在努力。

应该说这些工作的难度都不大,否则我晚上只会做噩梦。但毕竟每天都在玩数学,梦中就会常出现数学问题,有几个醒来时还没忘,而且觉得有点意思,下面就一个个写出来。不是按照做梦的时间顺序,而是按照难度从低到高排列的。

二 夜 之 所 梦

01、梦到数学题

,即“黄金分割数”。我梦到一个问题: 应该有两个整数an,bn,使得 ω-n=an+bnω ,在梦中想到an ,bn应该有递推公式,努力了一下没想出来就醒了。

醒来想想,这个问题有点意思,因为答案是 ω-n=Fn+1+Fnω。

其中 {Fn}为斐波那契数列,即满足 F1=F2=1,且对 n>1 有 Fn+1=Fn+Fn-1。

证明当然不难,而且办法很多,但似乎没有 trivial 的。

所以我就拿给中学生去做了。

02、梦到本科题

不知怎么梦到一个数{an} 满足递推关系

。醒来想想,类似的递推关系见过不少,但与此相同的没见过(哪位见过请指教)。

这个递推关系有意思之处在于: 只要 a1>0,所得的数列总是收敛的,但可能是单增的,也可能是单减的,还可能是既不增也不减的。

而且其极限总是 ω-1。

递推关系还可改为

,其中 a 是一个固定的正实数。

我觉得这个题目够作为一个本科数学竞赛题的。您觉得呢?

03、梦到李群与李代数问题之一

设复变元 z 的幂级数

的收敛半径为R(可能为∞),n阶复方阵 T 的特征值的绝对值都小于 R。则矩阵幂级数

收敛。

这是我在讲李群与李代数课程时学生提出的问题,讲课也用得着。当时的想法是化为若尔当标准型,这样证明没问题,但感觉有点隐患,结果在梦中暴露出来。

在梦中遇到这个问题,却是和李群与李代数课程中经常遇到的另一个问题——解析性联系了起来。具体说,如果n阶复方阵 T= (tij),将其中的 tij 都看作变元,那么 f(T) 中的变元是否都是诸 tij 的解析函数呢?

在梦中苦苦挣扎,因为用若尔当标准型的办法好像怎么也过不去,就这样醒了。这个梦是忘不了的,尽管还不能算是噩梦。后面就是梦醒后的故事了。

醒来后想想,上述问题的答案应该是肯定的,但用若尔当标准型即使可以做,恐怕也很麻烦,因为需要用到特征根,就会遇到单值阻碍(monodromy obstruction),真的苦了。

最好能想个不用特征根的路子。后来受维尔斯特拉斯预备定理启发,有了个办法,写成下面的习题。

习 题

设复变元z的幂级数

的收敛半径为R(可能为∞)。T= (tij) 为n阶复方阵,正实数r<R。证明若T的特征值的绝对值都小于r,则

,并由此证明f(T)的元都是 tij (1≤i, j≤n) 的解析函数。

这样我写的书里就增加了一道习题。如果您做了这个习题,就会觉得我这个梦没白做了。

04、梦到李群与李代数问题之二

下面说的这个梦,尽管是转瞬即逝,要听痴人说梦却有点辛苦,需要跟着做好几个习题才行。

在梦中也是苦苦挣扎,这次是努力用直线的无穷小运动计算李代数。如我在前文所说,吾等凡夫俗子肯定是算不出的。挣扎着就醒了。

醒来后想想,在梦中算的是什么李群的李代数呢?一般的线性群的李代数在教科书中不是都有计算吗?

无穷小运动梦见自已在做数学题!明白了,在梦中算的是运动群。

这还真是个问题,一般的教科书中没有。为了详细解释,我把需要做的习题逐个列出,不想做的就别往下看了。

习 题 1

设V为实线性空间

,则

。定义一个映射 σ:V→V。易见σ是一一映射,即

。所有这样的映射组成 Per(V) 的一个子群,记为

。证明

有一个自然的李群结构,其中满足 T=idV 的元组成一个正规李子群H,而

习 题 2

设V为欧几里德空间(内积为<,>)。一个映射 σ:V→V 称为运动,如果它保持距离,即对任意

。证明

,具体说有一个正交变换

及一个

使得对任意

,有

。证明所有运动组成

的一个李子群,记为

这些都是我在做梦之前就知道的,所以在梦中出现并不奇怪。而梦中的潜意识就引导到计算

的李代数。由于

不是

的子群,关于线性群的李代数的结果不能直接套用。但可利用

的一个很好的线性表示来解决这个问题。这样就在书中又增加了一道习题。

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